러셀의 역설과 집합론의 위기- 전능성 역설과 신 개념의 비일관성

러셀의 역설: 전능성의 역설과 조화되는 신 개념의 일관성

이번에는 러셀의 역설이 가지는 수학적 의미와 그 한계를 살펴보고, 이를 통해 전능성의 역설이 지닌 신학적 논쟁에서 어떻게 기독교 신 개념의 일관성을 보여주는지 논리적으로 변증해보려 합니다. 많은 무신론자들은 러셀의 역설과 유사한 논리적 딜레마를 통해 기독교 신 개념의 모순을 지적하며 공격하지만, 이는 러셀의 역설 자체에 대한 깊이 있는 이해가 부족하기 때문에 발생하는 오류입니다.

1. 러셀의 역설: 집합론의 딜레마와 해결 시도

1.1. 러셀의 역설: 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합

1901년, 영국의 수학자이자 철학자인 버트런드 러셀(Bertrand Russell, 1872-1970)은 당시 수학계의 근간을 뒤흔든 역설을 발견했습니다. 이는 바로 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합'에 대한 역설로, '러셀의 역설'이라고 불립니다.

러셀은 집합을 '어떤 조건에 따라 결정되는 요소들의 모임'으로 정의했습니다. 예를 들어, '10보다 작은 자연수들의 집합'은 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}와 같이 표현할 수 있습니다. 이때, 러셀은 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합'이라는 특별한 집합을 고려했습니다.

이해를 돕기 위해 '자기 자신을 원소로 갖는 집합'의 예를 먼저 살펴보겠습니다. '모든 집합의 집합'이라는 집합은 자기 자신도 하나의 집합이기 때문에 스스로를 원소로 갖게 됩니다. 반면, '10보다 작은 자연수들의 집합'은 그 자체가 자연수가 아닌 집합이므로 자기 자신을 원소로 갖지 않습니다.

이제 러셀은 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합들의 집합'을 'R'이라고 정의했습니다. 즉, R은 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합'이라는 조건을 만족하는 모든 집합을 모아 놓은 집합입니다. 이때, 러셀은 R이 자기 자신을 원소로 갖는지 여부를 질문했습니다.

• 만약 R이 자기 자신을 원소로 갖는다면, R은 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합'이라는 조건을 만족하지 못하게 됩니다.
• 반대로 R이 자기 자신을 원소로 갖지 않는다면, R은 '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합'이라는 조건을 만족하므로 R의 원소가 되어야 합니다.

결국 R은 자기 자신을 원소로 갖든 갖지 않든 모순에 빠지게 됩니다. 이것이 바로 러셀의 역설입니다.

1.2. 집합론의 위기: 수학적 기초의 흔들림

러셀의 역설은 당시 수학계에 큰 충격을 안겨주었습니다. 왜냐하면, 19세기 말 게오르크 칸토어(Georg Cantor, 1845-1918)에 의해 개발된 집합론은 모든 수학의 기초가 될 수 있다고 여겨졌기 때문입니다. 칸토어는 집합론을 통해 무한의 개념을 수학적으로 엄밀하게 다룰 수 있음을 보여주었고, 이는 수학의 영역을 무한의 세계로 확장하는 데 크게 기여했습니다.

그러나 러셀의 역설은 집합론 자체에 근본적인 모순이 존재할 수 있음을 보여주었습니다. '자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합'처럼 단순해 보이는 개념조차 모순을 일으킬 수 있다는 사실은 집합론의 기초를 위협하기에 충분했습니다. 만약 집합론 자체에 모순이 존재한다면, 이를 기반으로 세워진 수학 전체가 무너질 수 있기 때문입니다.

1.3. 러셀의 역설에 대한 해결 시도: 논리적 제한과 공리계 도입

러셀의 역설은 수학자들에게 집합 개념을 명확하게 정의하고 그 한계를 명확히 설정해야 할 필요성을 일깨워주었습니다. 이에 따라 러셀 자신을 비롯한 많은 수학자들은 러셀의 역설과 같은 모순을 피할 수 있는 다양한 해결책을 제시했습니다.

가장 대표적인 해결책 중 하나는 '논리적 타입 이론(Theory of Logical Types)'입니다. 러셀 자신이 제시한 이 이론은 집합을 구성할 때 집합의 '타입'을 도입하여 자기 자신을 포함하는 집합의 생성을 금지하는 방식입니다. 즉, 특정 타입의 집합은 그보다 낮은 타입의 객체만을 원소로 가질 수 있도록 제한하는 것입니다. 이렇게 하면 '모든 집합들의 집합'과 같이 자기 자신을 포함하는 집합은 생성 자체가 불가능해지므로 러셀의 역설과 같은 모순을 피할 수 있습니다.

또 다른 해결책으로는 '공리적 집합론(Axiomatic Set Theory)'이 있습니다. 이는 집합론을 몇 가지 기본적인 공리를 바탕으로 구축하는 방식입니다. 대표적인 공리적 집합론에는 'ZF 공리계 (Zermelo-Fraenkel set theory)'와 'ZFC 공리계 (Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice)'가 있습니다.

ZF 공리계는 1908년 독일의 수학자 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo, 1871-1953)가 처음 제시했고, 이후 1922년 아브라함 프렝켈(Abraham Fraenkel, 1891-1965)에 의해 보완되었습니다. ZF 공리계는 집합의 존재 및 집합 연산에 대한 몇 가지 기본적인 공리를 제시하고, 이를 바탕으로 집합론의 다양한 개념과 정리를 유도합니다.

ZFC 공리계는 ZF 공리계에 '선택 공리(Axiom of Choice)'를 추가한 것입니다. 선택 공리는 무한 개의 집합 각각에서 하나의 원소를 선택하여 새로운 집합을 만들 수 있다는 공리입니다. 선택 공리는 직관적으로는 자명해 보이지만, 증명 없이 받아들여야 하는 공리이며, 때로는 반직관적인 결과를 초래하기도 합니다.

이러한 공리적 집합론들은 집합에 대한 몇 가지 제한된 조건 하에서만 집합을 구성할 수 있도록 함으로써 러셀의 역설과 같은 모순을 피하고자 합니다.

2. 전능성의 역설: 신 존재 증명에 대한 반론?

2.1. 전능성의 역설: 신은 자신이 들 수 없는 돌을 만들 수 있는가?

전능성의 역설은 기독교 신앙의 핵심 교리 중 하나인 신의 전능성에 의문을 제기하는 대표적인 논증 중 하나입니다. 이 역설은 다음과 같은 질문으로 제기됩니다.

"전능한 신은 자신이 들 수 없는 돌을 만들 수 있는가?"

이 질문에 대한 두 가지 가능한 답변 모두 모순을 초래하기 때문에 역설이라고 불립니다.

• 만약 신이 자신이 들 수 없는 돌을 만들 수 있다면, 신은 그 돌을 들 수 없다는 점에서 전능하지 않게 됩니다.
• 반대로 신이 자신이 들 수 없는 돌을 만들 수 없다면, 신은 무언가를 할 수 없다는 점에서 전능하지 않게 됩니다.

2.2. 전능성의 역설에 대한 전통적인 반론: 잘못된 전제

전통적으로 기독교 변증가들은 전능성의 역설이 신의 전능성을 오해한 데서 비롯된 잘못된 논증이라고 반박해 왔습니다. 그들은 신의 전능성이란 '논리적으로 가능한 모든 것을 할 수 있는 능력'을 의미한다고 주장합니다.

'자신이 들 수 없는 돌'은 논리적으로 모순된 개념입니다. 왜냐하면, 전능한 존재는 정의상 모든 것을 할 수 있어야 하기 때문입니다. 따라서 '신이 자신이 들 수 없는 돌을 만든다'는 것은 논리적으로 불가능하며, 신의 전능성에 위배되지 않습니다.

2.3. 러셀의 역설과의 유사성: 논리적 모순에 기반

흥미롭게도, 전능성의 역설은 앞서 살펴본 러셀의 역설과 유사한 구조를 가지고 있습니다. 두 역설 모두 특정 조건을 만족하는 집합 또는 존재의 가능성과 불가능성을 동시에 주장함으로써 논리적 모순을 일으킵니다.

• 러셀의 역설: '자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합들의 집합'은 자기 자신을 원소로 갖든 갖지 않든 모순에 빠집니다.
• 전능성의 역설: '전능한 신'은 자신이 들 수 없는 돌을 만들 수 있든 없든 모순에 빠집니다.

두 역설 모두 특정 개념('자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합들의 집합', '자신이 들 수 없는 돌')이 논리적으로 모순된다는 점을 이용하여 역설을 만들어냅니다.

3. 신 개념의 일관성: 전능성의 역설을 넘어

3.1. 러셀의 역설과 전능성의 역설: 해결 방식의 유사성

앞서 살펴본 것처럼, 러셀의 역설은 집합론 자체를 부정하는 논증이 아니라, 집합론의 개념을 명확하게 정의하고 그 한계를 설정해야 할 필요성을 제기한 것입니다. 마찬가지로, 전능성의 역설 또한 신의 전능성 개념 자체를 부정하는 논증이 아니라, 신의 전능성을 어떻게 이해하고 정의해야 할지에 대한 신학적 논의를 촉발시키는 역할을 합니다.

3.2. 신의 전능성에 대한 재정의: 논리적 가능성과의 조화

전능성의 역설에 대한 전통적인 반론에서 언급했듯이, 신의 전능성은 '논리적으로 가능한 모든 것을 할 수 있는 능력'으로 이해될 수 있습니다. 이는 신이 논리적으로 불가능한 것을 할 수 있다거나, 해야 한다는 의미가 아닙니다. 오히려 신의 전능성은 논리적 질서 안에서 완전하게 발휘됩니다.

3.3. 신 개념의 일관성: 전능성과 다른 속성과의 조화

신의 전능성은 신의 다른 속성들과 조화를 이루며 이해되어야 합니다. 예를 들어, 신은 전능하지만 동시에 전적으로 선하십니다. 따라서 신은 악한 행동을 할 수 없지만, 이는 신의 전능성을 제한하는 것이 아닙니다. 오히려 신의 선하심은 신의 완전성의 한 측면이며, 신의 전능성은 신의 선하심과 완벽하게 조화를 이루며 발휘됩니다.

결론: 전능성의 역설을 넘어, 신앙의 확신을 향하여

지금까지 러셀의 역설과 전능성의 역설을 비교하며, 전능성의 역설이 실제로 신의 존재를 부정하는 논증이 될 수 있는지 자세히 살펴보았습니다. 논리적 모순을 이용하여 신의 존재를 반박하려는 시도는 러셀의 역설이 가지는 수학사적 의미를 제대로 이해하지 못한 데서 비롯된 오류입니다.

전능성의 역설은 오히려 신의 전능성을 더 깊게 이해할 수 있도록 돕는 질문을 던져줍니다. 신의 전능성은 단순히 인간의 제한된 경험과 논리를 뛰어넘는 무한한 능력을 의미하는 것이 아닙니다. 신의 전능성은 논리적 질서 안에서, 그리고 신의 다른 속성들과 완벽한 조화를 이루며 발휘되는 완전한 능력입니다.

우리가 이러한 사실을 기억한다면, 전능성의 역설과 같은 논리적 딜레마에 흔들리지 않고 오히려 더욱 굳건한 신앙을 가질 수 있습니다. 성경은 "믿음은 바라는 것들의 실상이요 보지 못하는 것들의 증거" (히브리서 11:1)라고 말씀합니다. 우리는 이성적인 논증을 통해 신앙의 근거를 강화할 수 있지만, 궁극적으로 신앙은 하나님의 은혜에 대한 응답이며, 보이지 않는 것을 믿는 것입니다.

이처럼 기독교와 성경은 허구의 산물이 아닌 객관적 진실이므로 회개하고 예수님을 믿지 않으면 반드시 지옥에 가기 때문에 지체하지 말고 지금 즉시 이 블로그의 글을 읽고 예수님을 믿으시기 바랍니다.

참고 문헌

1. Fraenkel, A. (1922). Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. Mathematische Annalen, 86(3-4), 230-237.
2. Russell, B. (1903). The principles of mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.
3. Zermelo, E. (1908). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. Mathematische Annalen, 65(2), 261-281.
4. 히브리서 11:1, 대한성서공회, 개역개정판, 2011.